- Уравнение Риккати
-
Уравнение Риккати (итал. Equazione di Riccati) — обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида
Уравнением Риккати называют также многомерный аналог (*), то есть систему обыкновенных дифференциальных уравнений с независимыми переменными правые части которых являются многочленами второй степени от переменных с зависящими от коэффициентами. Одномерные и многомерные уравнения Риккати находят применения в различных областях математики: алгебраической геометрии,[1] теории вполне интегрируемых гамильтоновых систем,[2] вариационном исчислении,[3] теории конформных отображений, квантовой теории поля.[4]
Содержание
История
Частный случай такого уравнения:
где — постоянные, впервые был исследован итальянскими математиками Якопо Франческо Риккати и семейством Бернулли (Даниил, Иоганн, Николай старший и Николай младший). [5] [6] [7] Ими было найдено условие, при котором это уравнение допускает разделение переменных и, следовательно, интегрирование в квадратурах: или Как доказал Жозеф Лиувилль (1841), при других значениях решение уравнения (**) нельзя выразить в квадратурах от элементарных функций; общее решение его может быть записано с помощью цилиндрических функций.
Уравнение вида (*) часто называют общим уравнением Риккати, а уравнение вида (**) — специальным уравнением Риккати.
Свойства
- Уравнение Риккати (*) в случае является линейным и интегрируется в квадратурах.
- Уравнение Риккати (*) в случае является уравнением Бернулли и интегрируется в квадратурах с помощью замены
- Общее решение уравнения Риккати (*) является дробно-линейной функцией от постоянной интегрирования, и обратно, любое дифференциальное уравнение первого порядка, обладающее этим свойством, является уравнением (*).
- Если — частные решения уравнения Риккати (*), соответствующие значениям постоянной интегрирования, то имеет место тождество
- Левая часть тождества (***) — двойное отношение четырёх частных решений — является первым интегралом уравнения Риккати (*). Таким образом, общее решение уравнения (*) восстанавливается из трёх независимых частных решений по формуле (***).
Обобщение
Матричным уравнением Риккати называется дифференциальное уравнение
относительно неизвестной квадратной матрицы порядка , в котором — заданные квадратные матрицы порядка с зависящими от переменной коэффициентами.
В вариационном исчислении большую роль играет матричное уравнение Риккати вида
относительно неизвестной квадратной матрицы порядка , в котором — заданные квадратные матрицы порядка с зависящими от переменной коэффициентами, причем звёздочка означает транспонирование. Оно тесно связано с уравнением Якоби для второй вариации интегрального функционала
в стационарной точке При этом матрицы
Литература
- Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
- Егоров А.И. Уравнения Риккати, — Физматлит, Москва, 2001.
- Лауфер М.Я. О решении уравнений Риккати // Лауфер М.Я. Избранные задачи математической физики. Сб. статей, — НТО кораблестроителей им. акад. А.Н. Крылова, Севмашвтуз, Северодв. отд-ние Ломоносов. Фонда, Северодвинск, 2005, стр. 137-142.
Ссылки
Примечания
- ↑ Wilczinski E. J. Projective Differential Geometry of Curves and Ruled Surfaces. Teubner, Leipzig, 1906.
- ↑ Захаров В. Е., Фаддеев Л. Д. Уравнение Кортевега-де Фриса — вполне интегрируемая гамильтонова система.
- ↑ Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
- ↑ Winternitz P. Lie groups and solutions of nonlinear partial differential equations. Lecture Notes in Physics, 1983, vol. 189, pp. 263—331.
- ↑ Riccati J. F. Animadversationes in aequationes differentiales secundi gradus. Acta Eruditorum Quae Lipside Publicantur, 1724. Supplementa 8.
- ↑ Cantor M. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik (V. 4). Leipzig, 1901.
- ↑ Grugnetti L. Sur Carteggio Jacopo Riccati — Nicola 2 Bernulli. J. Riccati e la Cultura della Marca nel Settecento Europeo. Firence, 1992.
Категории:- Дифференциальные уравнения
- Вариационное исчисление
- Нелинейные уравнения
Wikimedia Foundation. 2010.